[ Pobierz całość w formacie PDF ]

9. Definicja granicy funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej w punkcie.

Definicja granicy funkcji w punkcie (w sensie Cauchy’ego)

Niech f : X → R, gdzie X R oraz niech α, x0 R i x0 będzie punktem skupienia zbioru X.

Mówimy, że liczba α R jest granicą funkcji f w punkcie x0, jeśli dla każdego     ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < |x−x0| < δ zachodzi   |f(x) − α| < ε.

Fakt ten zapisujemy

Definicja granicy funkcji w punkcie (w sensie Heinego)

Niech f : X → R, gdzie X R oraz niech α, x0 R i x0 będzie punktem skupienia zbioru X.

Mówimy, że liczba αR jest granicą funkcji f w punkcie x0, jeśli dla każdego ciągu (xn)nN X takiego, że xn ≠ x0 dla nN oraz zachodzi

Funkcja f  może nie mieć żadnej granicy w danym punkcie, ale

jeżeli ma, to tylko jedną. Zapisujemy

Możemy odpowiednio zmodyfikować definicję, aby uwzględnić

możliwość

definicja Heinego dla  :

dla każdego ciągu (xn) takiego, że xnX, xn ≠ x0 oraz ciąg wartości funkcji (f(xn)) dąży do przy n→

definicja Cauchy'ego dla  :

.

().

Jeżeli zbiór X nie jest ograniczony z góry, przyjmujemy, że +∞

jest jego punktem skupienia i odpowiednio definiujemy granicę

Analogicznie dla zbiorów ograniczonych z dołu definiujemy  granicę funkcji w – ∞.

Opracował: Andrzej Mijas