[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Jak przekroczy
logiczne ograniczenia nauki
Modele matematyczne stosowane obecnie w wielu dziedzinach nauki
niezbyt dobrze opisuj rzeczywistoæ. By moýe jednak
znajd si« sposoby obejæcia tego problemu
John L. Casti
umys¸ ludzki jest nieograniczo-
ny w udzielaniu odpowiedzi na
wszelkie pytania, musz mocno niepo-
koi wnioski wyp¸ywajce z przegldu
XX-wiecznej matematyki. W 1931 roku
Kurt Gdel wykaza¸ twierdzenie o nie-
zupe¸noæci, ktre stanowi, ýe ýaden sys-
tem dedukcyjny nie jest w stanie dostar-
czy odpowiedzi na wszystkie pytania
dotyczce systemw liczbowych. Kilka
lat pniej Alan M. Turing poda¸ rw-
nowaýne twierdzenie o programach
komputerowych, ktre orzeka, iý nie ist-
nieje algorytm pozwalajcy stwierdzi,
czy program przetwarzajcy pewien
konkretny zestaw danych kiedykolwiek
zakoÄczy sw prac«. Ca¸kiem niedaw-
no Gregory J. Chaitin z IBM znalaz¸ takie
stwierdzenia arytmetyczne, ktrych
prawdziwoæci nie da si« nigdy wypro-
wadzi w sposb czysto dedukcyjny.
Te odkrycia kwestionuj nasze moýli-
woæci naukowego poznania w dziedzi-
nie matematyki i logiki. Czy istniej po-
dobne ograniczenia w rozwizywaniu
problemw spo¸ecznych lub przyrodni-
czych? Pierwszym i zapewne najbardziej
dyskusyjnym punktem jest rozstrzygni«-
cie, co w¸aæciwie mamy na myæli, m-
wic o ãnaukowym poznaniuÓ. Aby
przeci ten filozoficzny w«ze¸ gordyj-
ski, przyjmijmy umiarkowanie kontro-
wersyjny pogld, ýe istot metody na-
ukowego rozwizywania problemw
jest moýliwoæ uj«cia jej w postaci zbio-
ru regu¸ post«powania, na podobieÄ-
stwo programu komputerowego. Po
prostu wprowadzamy dane pocztko-
we problemu do zbioru regu¸, kr«cimy
korbk dedukcji logicznej i czekamy na
ukazanie si« odpowiedzi.
Przekonanie, ýe metod« naukow
moýna przyrwna do dzia¸ania progra-
mu komputerowego, wprowadza do
rozwaýaÄ poj«cie z¸oýonoæci obliczenio-
wej. StopieÄ trudnoæci rozwizania zna-
nego problemu podrýujcego komiwo-
jaýera, polegajcy na wyznaczeniu
najkrtszej drogi ¸czcej duý liczb«
miast, roænie Ð jak si« uwaýa Ð wyk¸ad-
niczo ze wzrostem liczby punktw prze-
znaczenia. Na przyk¸ad wytyczenie naj-
lepszej marszruty dla komiwojaýera
odwiedzajcego 100 miast wymaga¸oby
zbadania 100 x 99 x 98 x 97 x...x 1 moý-
liwoæci. Jest to zadanie, ktre nawet naj-
szybszemu komputerowi zaj«¸oby mi-
liardy lat.
Jednakýe przeprowadzenie takich ob-
liczeÄ jest moýliwe, przynajmniej teore-
tycznie. Skoncentrujmy uwag« na pro-
blemach, dla ktrych nie istnieje ýaden
program umoýliwiajcy otrzymanie od-
powiedzi. Jak wyglda¸by æwiat, gdyby
przejawia¸o si« w nim zjawisko braku
logicznych odpowiedzi, ktre obserwu-
jemy w matematyce? Twierdz«, ýe ww-
czas przyroda musia¸aby by wewn«trz-
nie sprzeczna (niekonsystentna) lub
niepe¸na w nast«pujcym znaczeniu tych
s¸w. Brak sprzecznoæci w przyrodzie
oznacza, iý nie wyst«puj w niej praw-
PODRîûUJCY KOMIWOJAûER potrze-
bowa¸by miliardw lat pracy najszybszego
kumputera æwiata, by obliczy najkrtsz
drog« mi«dzy 100 punktami przeznaczenia.
Naukowcy prbuj obecnie znale sposoby
obejæcia tego zniech«cajcego problemu.
38 å
WIAT
N
AUKI
GrudzieÄ 1996
K
aýdego, kto jest przekonany, ýe
dziwe paradoksy. Zazwyczaj gdy napo-
tykamy efekty æwiadczce o podobnych
paradoksach Ð takie jak strugi gazu wy-
rzucane z kwazarw z pr«dkoæci po-
zornie wi«ksz od pr«dkoæci æwiat¸a Ð
dalsze badania przynosz rozwizanie.
(Te ãnadæwietlneÓ strugi okaza¸y si« z¸u-
dzeniem wynikajcym z efektw relaty-
wistycznych.)
Zupe¸noæ przyrody oznacza, ýe ýa-
den stan fizyczny nie moýe powsta bez
powodu, czyli Ð mwic krtko Ð kaý-
de zjawisko ma jakæ przyczyn«. Nie-
ktrzy badacze mogliby ripostowa:
mechanika kwantowa przeczy temu, ýe
przyroda jest konsystentna i zupe¸na.
Jednak rwnanie opisujce funkcj« falo-
w zjawiska kwantowego daje przyczy-
now interpretacj« kaýdej obserwacji
(zupe¸noæ) i jest dobrze okreælone w
kaýdej chwili (konsystencja). Powszech-
nie znane ãparadoksyÓ mechaniki kwan-
towej powstaj wtedy, gdy usi¸ujemy
traktowa obiekty kwantowe tak, jakby
by¸y klasyczne.
si« znale odpowied, dotyczy tego,
czy dwa cia¸a lub wi«cej zderz si«, czy
teý ktreæ z nich osignie dowolnie du-
ý pr«dkoæ w skoÄczonym czasie. W ro-
ku 1988 Zhihong (Jeff) Xia z Northwe-
stern University wykaza¸, w jaki sposb
pojedyncze cia¸o poruszajce si« tam
i z powrotem pomi«dzy dwoma po-
dwjnymi uk¸adami (ca¸y uk¸ad sk¸ada
si« z pi«ciu mas punktowych) moýe osi-
gn dowolnie duý pr«dkoæ i w rezul-
tacie wyrwa si« z uk¸adu. Ten wynik,
ktry wyprowadzony zosta¸ z uwzgl«d-
nieniem specyficznej geometrycznej kon-
figuracji cia¸, nie daje ýadnej informacji
o szczeglnym przypadku Uk¸adu S¸o-
necznego, ale sugeruje, ýe nasz Uk¸ad
S¸oneczny wcale nie musi by trwa¸y.
Co wi«cej, odkrycie to moýe zaowo-
cowa nowymi metodami badawczy-
mi pomocnymi w rozwizaniu tego
problemu.
¥ Zwijanie si« bia¸ek. Bia¸ka, b«dce
podstawowymi sk¸adnikami wszystkich
organizmw ýywych, tworz si« z wiel-
kiej liczby sk¸adnikw, czyli ¸aÄcuchw
aminokwasw przypominajcych kora-
liki na sznurku. Kiedy koraliki zostan
u¸oýone we w¸aæciwym porzdku, cz-
steczka bia¸ka gwa¸townie zwija si«
w wysoce specyficzn trjwymiarow
struktur«, ktra okreæla jej funkcj« w or-
ZWIJANIE BIAüEK to problem, w ktrym
rozwaýa si«, w jaki sposb ¸aÄcuch amino-
kwasw
(z lewej)
przechodzi niemal natych-
miast w nies¸ychanie skomplikowan trj-
wymiarow struktur« bia¸ka
(z prawej)
.
Obecnie biolodzy usi¸uj rozszyfrowa te
zawi¸e biochemiczne regu¸y.
ganizmie. Oszacowano, ýe superkom-
puter, stosujcy w obliczeniach przy-
puszczalne regu¸y zwijania si« bia¸ek,
potrzebowa¸by aý 10
127
lat, by wyzna-
czy ostateczny kszta¸t nawet stosunko-
wo krtkiego ¸aÄcucha zawierajcego
zaledwie 100 aminokwasw. I rzeczy-
wiæcie, w 1993 roku Aviezri S. Fraenkel
z University of Pennsylvania wykaza¸,
ýe matematyczne rozwizanie proble-
mu zwijania si« bia¸ek jest obliczeniowo
rwnie ãtrudneÓ jak problem podrýu-
jcego komiwojaýera. W jaki sposb ra-
dzi sobie z tym natura?
¥ Efektywnoæ rynku. Jeden z filarw,
na ktrych wspiera si« klasyczna teoria
finansw, to przekonanie, ýe rynek jest
ãefektywnyÓ. Oznacza to, ýe przetwa-
rza on niezw¸ocznie wszelkie informa-
cje wp¸ywajce na cen« akcji i towarw
i uwzgl«dnia je w bieýcej cenie gie¸do-
wej. W konsekwencji ceny powinny
zmienia si« w zasadniczo nieprzewidy-
walny, przypadkowy sposb, pomijajc
Trzy zagadki
W moim przekonaniu przyroda jest
zarwno zupe¸na, jak i niesprzeczna.
Z drugiej jednak strony, zaleýnoæ na-
uki od matematyki ogranicza nasze moý-
liwoæci opisu zjawisk æwiata przyrody.
Ilustracj niech b«d trzy dobrze znane
problemy z dziedziny fizyki, biologii
i gospodarki.
¥ Stabilnoæ Uk¸adu S¸onecznego. Naj-
bardziej znanym problemem mechani-
ki klasycznej jest problem
n
-cia¸. Mwic
najoglniej, chodzi w nim o opis zacho-
wania pewnej liczby
n
punktw mate-
rialnych, ktrych ruch podlega newto-
nowskiemu prawu powszechnego ci-
ýenia. Jedno z pytaÄ, na ktre staramy
å
WIAT
N
AUKI
GrudzieÄ 1996
39
efekty inflacji. To z kolei oznacza, ýe
strategie handlowe oparte na dost«p-
nych publicznie informacjach, takich jak
zmiany cen, powinny by bezuýytecz-
ne; nie moýe istnie ýadna strategia, kt-
ra dzia¸a¸aby lepiej niý rynek w d¸uý-
szym czasie. Jednakýe rzeczywiste rynki
zdaj si« nie mie nic wsplnego z aka-
demick teori. Literatura ekonomiczna
jest pe¸na opisw takich rynkowych
ãanomaliiÓ jak efekt niskiego wsp¸-
czynnika cenaÐzysk, ktry pokazuje, ýe
niskie ceny akcji firm w stosunku do ich
zyskw systematycznie przewyýszaj
æredni rynkow.
tworz skoÄczony zbir liczb. Co wi«-
cej, tego rodzaju pomiary zazwyczaj s
niedok¸adne.
Z kolei w æwiecie matematyki te re-
alnie obserwowane wielkoæci s repre-
zentowane symbolicznie i cz«sto przy-
jmuje si«, ýe ich wartoæci naleý do
kontinuum przestrzennego i czasowe-
go. Symbole matematyczne reprezentu-
jce takie atrybuty, jak po¸oýenie czy
pr«dkoæ, zwykle wyraýa si« liczbami
naturalnymi, rzeczywistymi lub zespo-
lonymi pochodzcymi ze zbiorw nie-
skoÄczonych. W¸aæciwym poj«ciem ma-
tematycznym charakteryzujcym nie-
pewnoæ jest losowoæ.
I wreszcie jest teý æwiat ãobliczeÄÓ,
ktry zajmuje nienaturaln pozycj«,
tkwic cz«æciowo w rzeczywistym æwie-
cie przyrzdw fizycznych, a cz«æcio-
wo w abstrakcyjnym æwiecie obiektw
matematycznych. Gdy myælimy o obli-
czeniach jako o wykonywaniu cigu po-
leceÄ, czyli algorytmu, mamy wwczas
do czynienia z procesem czysto mate-
matycznym i naleýcym do æwiata
obiektw symbolicznych. Gdy nato-
miast patrzymy na obliczenia jako na
proces polegajcy na kolejnym w¸cza-
niu i wy¸czaniu prze¸cznikw w pa-
mi«ci realnej maszyny liczcej, to wtedy
jest on mocno zakotwiczony w æwiecie
obserwacji fizycznych.
Jednym ze sposobw wykazania, ýe
na dane pytanie nie moýna da logicznej
naukowej odpowiedzi, jest ogranicze-
nie dyskusji i argumentw wy¸cznie
do æwiata zjawisk przyrodniczych. Gdy-
byæmy wybrali t« drog«, to nie wolno
by¸oby przek¸ada pytania: ãCzy Uk¸ad
S¸oneczny jest stabilny?Ó, na j«zyk ma-
tematyki i tym samym oczekiwa od-
powiedzi, ktra da¸aby si« wyprowa-
dzi z logicznych schematw mate-
matyki. Musielibyæmy bowiem w real-
nym æwiecie znale substytut dowodu
matematycznego.
Dobrym kandydatem jest poj«cie
przyczynowoæci. Moýna by w zasadzie
uzna, ýe problem jest naukowo rozwi-
zywalny, gdyby da¸o si« skonstruowa
cig argumentw przyczynowych, kt-
rego ostatnim ogniwem by¸oby rozwi-
zanie postawionego problemu. Argu-
mentacja przyczynowa nie musi by
wyraýona w j«zyku matematyki. Stan-
dardowy przyk¸ad argumentu deduk-
cyjnego: ãWszyscy ludzie s æmiertelni;
Sokrates jest cz¸owiekiem, a zatem So-
krates jest æmiertelnyÓ, jest takim w¸a-
ænie ¸aÄcuchem przyczynowym. Nie za-
wiera on ýadnej matematyki, jedynie
prosty wywd logiczny. Z drugiej stro-
ny, konstrukcja przekonujcego argu-
mentu przyczynowego bez uciekania
si« do matematyki moýe okaza si«
Nierzeczywistoæ matematyki
Analiza powyýszych trzech proble-
mw zdaje si« prowadzi do nast«pu-
jcych wnioskw: Uk¸ad S¸oneczny jest
by moýe niestabilny, zwijanie si« bia-
¸ek to problem obliczeniowo z¸oýony,
a rynki finansowe prawdopodobnie nie
s ca¸kowicie efektywne. Wsplnym
wyznacznikiem tych domniemanych
odpowiedzi jest zagadnienie matema-
tycznej przedstawialnoæci rzeczywiste-
go æwiata, a nie sama jego istota. Na
przyk¸ad podane przez Xia rozwiza-
nie problemu
n
-cia¸ nie t¸umaczy, w ja-
ki sposb rzeczywiste cia¸a uk¸adu pla-
netarnego poruszaj si« pod wp¸ywem
si¸ grawitacyjnych. Podobnie wniosek
Fraenkla, ýe zwijanie si« bia¸ek jest ob-
liczeniowo z¸oýone, nie wyjaænia, w ja-
ki sposb bia¸ka wykonuj swoje zada-
nia w cigu sekund raczej niý eonw.
No, a obrotni maklerzy z Wall Street od
dziesitkw lat mieli w nosie hipotez«
o efektywnoæci rynku. Zanim jednak
wysnujemy wnioski o niezdolnoæci na-
uki do wyjaænienia takich problemw,
trzeba albo wykaza, ýe model matema-
tyczny jest wiernym odbiciem rzeczy-
wistoæci, albo teý odrzuci go ca¸kowicie.
Rozwaýmy oba te warianty.
Podane przyk¸ady æwiadcz, ýe jeæli
chcemy szuka nierozwizywalnych
problemw rzeczywistego æwiata, mu-
simy wprowadzi staranne rozrýnie-
nie pomi«dzy rzeczywistoæci przyrod-
niczych i spo¸ecznych zjawisk z jednej
strony, a ich matematycznymi i oblicze-
niowymi modelami z drugiej. W zakres
obserwowalnych obiektw æwiata fi-
zycznego wchodz zazwyczaj bezpo-
ærednio mierzalne wielkoæci, jak czas lub
po¸oýenie, albo wielkoæci takie jak ener-
gia, ktre daj si« z nich wyprowadzi.
W ten sposb obiektem naszych rozwa-
ýaÄ s parametry takie jak wyznaczone
po¸oýenia planet lub rzeczywiæcie ob-
serwowane konfiguracje bia¸ek. Te ob-
serwowalne wielkoæci stanowi zazwy-
czaj dyskretny zbir, a ich wartoæci
przedsi«wzi«ciem zniech«cajcym.
W przypadku stabilnoæci Uk¸adu S¸o-
necznego naleýa¸oby znale przekonu-
jce niematematyczne definicje grawita-
cji i planet.
W obliczu tych trudnoæci rozsdne
wydaje si« zastosowanie metody ¸cz-
cej æwiat matematyki ze æwiatem real-
nym. Gdy chcemy odwo¸a si« do do-
wodowej maszynerii matematyki w celu
rozstrzygni«cia jakiejæ kwestii dotycz-
cej æwiata rzeczywistego, musimy naj-
pierw ãzakodowaÓ problem w postaci
formu¸y z jakiegoæ dzia¸u matematyki,
na przyk¸ad rwnania rýniczkowego,
wykresu czy gry z
n
-uczestnikami. Roz-
wizujemy matematyczn wersj« zagad-
nienia za pomoc techniki w¸aæciwej te-
mu obszarowi æwiata matematycznego
i ewentualnie moýemy ãrozkodowaÓ
odpowied (jeæli taka istnieje) z powro-
tem na j«zyk æwiata rzeczywistego. Cie-
kawe przy tym by¸oby wykazanie, ýe
matematyczna wersja problemu wiernie
obrazuje sytuacj« wyst«pujc w real-
nym æwiecie. Skd wiadomo, ýe model
matematyczny uk¸adu fizycznego i sam
uk¸ad maj ze sob cokolwiek wsplne-
go? To odwieczne pytanie filozofii da¸o
impuls do powstania teorii modeli usi¸u-
jcej udzieli na nie odpowiedzi. Co wi«-
cej, argumenty matematyczne mog
podlega ograniczeniom odkrytym
przez Gdla, Turinga i Chaitina, a do-
tychczas nie wiadomo, czy podobnym
podlega æwiat realny.
Umys¸ nie obliczajcy
By moýe istniej sposoby obejæcia
tych k¸opotw. Problemy odkryte przez
Gdla i innych pojawiaj si« w przy-
padku systemw liczbowych o nieskoÄ-
czonej iloæci elementw, takich jak zbir
liczb ca¸kowitych. Lecz w wielu rzeczy-
wistych problemach, choby podrýu-
jcego komiwojaýera, uýywa si« jedynie
skoÄczonej liczby parametrw, ktre ma-
40 å
WIAT
N
AUKI
GrudzieÄ 1996
Mars
We
nus
UKüAD
N
-CIAü, sk¸adajcy si« z punktu
materialnego oscylujcego mi«dzy dwoma
uk¸adami podwjnymi
(z lewej)
, zgodnie
z twierdzeniem wykazanym przez Zhihong
Xia z Northwestern University jest niestabil-
ny. Ten wynik moýe doprowadzi do wnio-
sku, ýe Uk¸ad S¸oneczny wyrzuci kiedyæ jed-
n ze swych planet w przestrzeÄ kosmiczn.
j tylko skoÄczon liczb« dopuszczal-
nych wartoæci.
Podobnie niededukcyjne sposoby ro-
zumowania Ð na przyk¸ad indukcja, kt-
ra pozwala wyprowadzi oglny wnio-
sek na podstawie skoÄczonej liczby
specyficznych obserwacji Ð mog nas za-
prowadzi poza obszar logicznej nieroz-
strzygalnoæci. Jeæli wi«c zdo¸amy ogra-
niczy formalizm matematyczny,
uýywajc skoÄczonych uk¸adw liczb
czy niededukcyjnej logiki bd teý obu
naraz, na kaýde pytanie matematyczne
powinna istnie odpowied; moýna wi«c
oczekiwa, ýe otrzymany po rozkodo-
waniu takiego pytania jego odpowied-
nik w realnym æwiecie teý nie pozostanie
bez odpowiedzi.
Badania ludzkiego umys¸u mog do-
prowadzi do odkrycia innych drg ob-
chodzenia tych trudnoæci. Niektrzy
zwolennicy sztucznej inteligencji sugero-
wali, ýe nasze mzgi s niezwykle skom-
plikowanymi komputerami, ktre wy-
konuj obliczenia w taki sam algoryt-
miczny sposb, jak to robi konwencjo-
nalne maszyny (czy nawet procesory
rwnoleg¸e lub sieci neuronowe). Jed-
nak wielu teoretykw, a zw¸aszcza fizyk
teoretyk Roger Penrose z University of
Oxford, argumentuje, ýe ludzka aktyw-
noæ poznawcza nie jest oparta na ýad-
nych znanych regu¸ach dedukcyjnych,
a wi«c nie podlega teý ograniczeniom
gdlowskim.
Ostatnio ten punkt widzenia nieocze-
kiwanie wspar¸y moje badania pod egid
Institute for Future Studies w Sztokhol-
mie prowadzone wesp¸ z psychologiem
Margaret A. Boden z University of Sus-
sex, matematykiem Donaldem G. Saarim
z Northwestern University, ekonomist
ke E. Anderssonem (dyrektorem insty-
tutu) i innymi. åwiadcz one przekony-
wajco, ýe zarwno w dziedzinie sztuk
pi«knych, jak i nauk przyrodniczych czy
nawet matematyki twrcze moýliwoæci
ludzkie nie s kr«powane ýadnymi wi«-
zami, tak jak algorytmy komputerowe.
Penrose i inni teoretycy wysun«li przy-
puszczenie, ýe zdolnoæci twrcze cz¸o-
wieka opieraj si« na jakimæ dotychczas
nie znanym mechanizmie lub regu¸ach,
by moýe powizanych z mechanik
kwantow. Odkrywajc te mechanizmy
i w¸czajc je do arsena¸u metod nauko-
wych, badacze b«d mogli rozwizywa
problemy dziæ nie do przezwyci«ýenia.
Oczywiæcie moýliwoæci nauki w zg¸«-
bianiu tajemnic natury s ograniczone
wieloma praktycznymi czynnikami Ð ta-
kimi jak b¸d pomiaru, d¸ugoæ czasu
obliczeÄ, fizyczne i finansowe zasoby,
decyzje polityczne czy wartoæci kultu-
rowe. Jednak ýaden z nich nie ma zwiz-
ku z istnieniem logicznych barier w na-
szych moýliwoæciach otrzymania od-
powiedzi na pewne pytania dotyczce
æwiata przyrody. W moim przekonaniu
nie ma takich barier. A zatem wnioski
wyp¸ywajce z przegldu XX-wiecz-
nej matematyki wcale nie s aý takie
zniech«cajce.
T¸umaczy¸
Aleksander Strasburger
Informacje o autorze
JOHN L. CASTI jest profesorem na Politechnice w Wiedniu i w Santa Fe Insti-
tute (casti@santafe.edu). Pomoc w sformu¸owaniu problemw poruszonych
w tym artykule s¸uýyli Joseph F. Traub, Piet Hut, James B. Hartle i
ke E. An-
dersson, a takýe Institute for Future Studies w Sztokholmie, cz«æciowo finan-
sujcy te badania, za co autor wyraýa wszystkim podzi«kowanie.
Literatura uzupe¸niajca
SEARCHING FOR CERTAINTY.
John L. Casti; William Morrow, 1991.
RANDOMNESS AND UNDECIDABILITY IN PHYSICS.
K. Svozil; World
Scientific, Singapore, 1944.
BOUNDARIES AND BARRIERS.
Red. John L. Casti i A. Karlqvist;
Addison-Wesley, 1996.
å
WIAT
N
AUKI
GrudzieÄ 1996
41
[ Pobierz całość w formacie PDF ]