[ Pobierz całość w formacie PDF ]
REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
Kocia ko¸yska i ryba na talerzu
od nieciekawej pierwotnej p«tli do bar-
dziej wyszukanych kszta¸tw. Jednym
z pierwszych sukcesw w badaniu
w«z¸w i im podobnych by¸a teoria
warkoczy stworzona przez Emila Arti-
na. Warkoczem nazywamy system
sznurkw (lub krzywych), ktre po-
cztkowo biegn rwnolegle jeden do
drugiego. Mog one owija si« wok¸
siebie nawzajem, tak jak sploty w¸osw.
Artin rozwin¸ algebr« warkoczy, kt-
ra odrýnia topologicznie nierwno-
waýne warkocze. Jeæli dwa warkocze
maj t« sam formu¸« algebraiczn, to
s rwnowaýne; jeæli formu¸y s rýne,
to s one nierwnowaýne. Pomys¸y
Artina do pewnego stopnia zainspiro-
wa¸y Jonesa.
Pod wieloma wzgl«dami figury ko-
ciej ko¸yski s podobne do warkoczy.
Zamiast dwch koÄcw warkocza ma-
my zbir palcw, wok¸ ktrych sznu-
rek jest owini«ty. Jednakýe w kociej ko-
¸ysce s dopuszczalne chwyty stosowa-
ne przez Artina; na przyk¸ad moýna
owin kilka sznurkw wok¸ jednego
palca. To jeden z powodw, dla ktrych
algebra warkoczy nie nadaje si« do opi-
su figur kociej ko¸yski. Innym powo-
dem Ð by moýe mniej waýnym, niý si«
to na pierwszy rzut oka wydaje Ð jest
to, ýe wszystkie figury kociej ko¸yski s
topologicznie rwnowaýne ze zwyk¸
nie zaw«lon p«tl.
Podejrzewam, ýe moglibyæmy obejæ
tem problem, rozwaýajc nie sznurek,
lecz sposb, w jaki owija si« on wok¸
palcw. Jeszcze inn komplikacj« do-
strzegam w standardowej wersji dzie-
ci«cej zabawy: druga osoba, si«gajc do
ærodka zaplatanki, wydobywa j i zmie-
nia kszta¸t figury, przenoszc sznurek
z rk pierwszej osoby na w¸asne r«ce.
Do zrobienia kociej ko¸yski potrzebne
s dwie osoby, kawa¸ek g¸adkiego,
mi«kkiego sznurka d¸ugoæci oko¸o 1 m,
ktry po zwizaniu koÄcw tworzy za-
i tym po-
dobne spra-
wy fascynowa¸y ludzi
od tysicleci. Ale do-
piero w latach dwu-
dziestych naszego wie-
ku matematycy za-
cz«li si« przegryza
przez problemy cha-
rakteryzacji w«z¸w,
rozrýnia te obiekty
i rozumie, co powo-
duje, ýe w«z¸y s za-
w«lone, a sploty sple-
cione. I tak powsta¸a
topologia, mocne na-
rz«dzie wsp¸czesnej
matematyki.
W ostatnim dzie-
si«cioleciu byliæmy
æwiadkami gwa¸tow-
nego rozwoju teorii
w«z¸w. Przede wszy-
stkim Vaughan Jones
wymyæli¸ to, co dziæ
nazywa si« wielomia-
nem Jonesa Ð formu¸«
algebraiczn zwiza-
n z w«z¸em [patrz:
Vaugham F. R. Jones,
ãKnot Theory and Sta-
tistical MechanicsÓ;
Scientific American
, li-
stopad 1990]. Jeæli dwa
w«z¸y maj rýne wie-
lomiany Jonesa, to s
topologicznie rýne,
co oznacza, ýe nie
moýna ich przekszta¸-
ci w sposb cig¸y je-
den na drugi.* Takie
ãniezmienniki w«z¸wÓ
znano wczeæniej, ale wie-
lomian Jonesa jest pierw-
szym z nowej generacji
superniezmiennikw, o
wiele skuteczniejszym niý
poprzednie.
Nawet jednak wielomian Jo-
nesa nie moýe wyjaæni wszyst-
kiego, co chcielibyæmy wiedzie
o w«z¸ach i splotach. Obiekty
te prowokuj do pewnych py-
taÄ, ktre wcale nie naleý do domeny
topologii Ð i w¸aænie te zagadnienia
chcia¸bym tym razem
omwi. W
REKREA-
CJACH MATEMATY-
CZNYCH
mam zwy-
czaj stawia wyzwa-
nia, ale tym razem pj-
d« jeszcze dalej i za-
czn« od zabawy, kt-
ra ogl«dnie mwic,
naleýy do pogranicza
matematyki. To do-
brze znana dzieci«-
ca gra zwana koci
ko¸ysk.
Stwierdzi¸em, ýe
ãdobrze znanaÓ, cho
wielu ludzi nie zdaje
sobie sprawy, jak bo-
gata jest ta gra. Pe¸ny
cig kociej ko¸yski
sk¸ada si« z oæmiu rý-
nych figur, ale te sa-
me regu¸y pozwalaj
skonstruowa z jednej
prostej p«tli na sznur-
ku rozpi«tym pomi«-
dzy palcami dwch
rk wiele rýnych
uk¸adw. Gra ta ilu-
struje, jak wielkie bo-
gactwo geometrycz-
nych w¸asnoæci, ta-
kich jak kszta¸t czy
liczba w«z¸w, po-
mija topologia p«tli.
Istnieje potrzeba
stworzenia dobrego
rachunku dla kociej
ko¸yski Ð algebry,
ktra opisze, jak
rýne standardo-
we chwyty umoý-
liwiaj przejæcie
kocia ko¸yska
ýo¸nierskie ¸ýko
æwiece
koryto
diamenty
kocie oko
OSIEM FIGUR tworzy kompletny cig kociej ko¸yski.
W grze bior udzia¸ dwie osoby, Angela
(jaæniejszy)
i Bill
(ciemniejszy)
, ktre przenosz na przemian
zap«tlony sznurek ze swoich d¸oni. Instrukcje tworzenia
tych uk¸adw s podane w tekæcie.
zegar
ryba
na p¸misku
84 å
WIAT
N
AUKI
Luty 1998
W
«z¸y, sploty
1
mkni«t p«tl«. Za¸ýmy, ýe Angela i Bill
na przemian zdejmuj sobie p«tl« z rk.
Najpierw Angela robi ko¸ysk« [
ilustra-
cja na ssiedniej stronie
]. Podstawowy
ruch w tym cigu stosowany prawie
przy kaýdym kroku w¸aænie na poczt-
ku pojawia si« po raz pierwszy. Przyj-
mijmy, ýe Bill znajduje si« po prawej
stronie Angeli. Patrzc w d¸ na figur«,
widzi dwa przeci«cia. Podnosi je w g-
r«, po jednym w kaýdej r«ce i oddala od
siebie. Nast«pnie odciga sznurki na bo-
ki figury ponad zewn«trznymi kraw«-
dziami, kieruje si« w d¸ i od wewntrz
z powrotem ku grze poprzez woln
przestrzeÄ poærodku.
W chwili gdy Bill, odsuwajc r«ce, od-
stawia kciuk od palca wskazujcego,
Angela zsuwa p«tle ze swoich palcw.
Teraz na r«kach Billa mamy now figu-
r« zwan ýo¸nierskim ¸ýkiem. Jeæli An-
gela powtrzy dok¸adnie ruchy swego
towarzysza, zaczynajc od drugiej figu-
ry, to otrzyma ona trzeci kszta¸t, zwany
æwiecami.
Przejæcie od æwiec do czwartej figury
wymaga innego dzia¸ania. Najpierw Bill
ma¸ymi palcami odsuwa na bok jeden,
a nast«pnie drugi wewn«trzny sznurek
(po przeciwnych stronach), po czym
umieszcza kciuk i palec wskazujcy
w ærodku figury od do¸u ruchem po-
dobnym do podstawowego, ale nie
chwyta ýadnych skrzyýowanych sznur-
kw. W koÄcu Bill prostuje kciuk i palec
wskazujcy oraz, zaginajc ma¸e palce,
zamocowuje wok¸ nich p«tle. Wyni-
kiem jest tzw. koryto. Teraz ma¸a uwa-
ga matematyczna: koryto to kocia ko¸y-
ska odwrcona ãdo gry nogamiÓ.
Jeæli poczynajc od koryta, ponownie
powtrzymy podstawowy ruch, tyle ýe
do gry nogami (chwytajc skrzyýowa-
nia od do¸u, a nie od gry), to otrzyma-
my odwrcone ýo¸nierskie ¸ýko. Tra-
dycyjnie ten pity kszta¸t nazywamy
diamentami. Jeszcze jedno powtrzenie
postawowego ruchu, teraz w normal-
nym uk¸adzie od gry, daje kocie oko.
Podnoszc troch« inaczej i odcigajc
r«ce do ty¸u bez nawrotu w d¸ do ærod-
ka, otrzymujemy ryb« na p¸misku.
Ostateczny kszta¸t troch« trudniej
osign. Ma¸ymi palcami Bill odciga
od siebie ærodkowe sznurki, a nast«p-
nie podnosi przeci«cia jak zwykle. Te-
raz kieruje kciuki i palce wskazujce do
wewntrz od gry, tak by otrzyma
smy kszta¸t zwany zegarem. Nie mam
zielonego poj«cia, dlaczego ta zaplatan-
ka nosi tak w¸aænie nazw«. By moýe
wie to ktryæ z czytelnikw?
Jeæli b«dziemy wykonywa inne
chwyty, to moýemy zmieni porzdek
cigu Ð na przyk¸ad przechodzc bez-
poærednio od ko¸yski do æwiec czy teý
od ýo¸nierskiego ¸ýka do kocich oczu.
Wyczerpujce obliczenia dla kociej ko-
¸yski powinny obejmowa wszystkie ta-
kie wariacje. Teoria musi opisywa rze-
czywiste formy sznurkowych figur, a nie
tylko ich topologi«. Dobrym pocztkiem
by¸by zwarty opis ãpo¸oýeÄÓ p«tli
wzgl«dem palcw oraz podstawowych
ruchw, takich jak ãwzi«cie p«tli z pra-
wej r«ki za pomoc ærodkowego palca
lewejÓ itp.
Jedna osoba takýe moýe zaprezento-
wa interesujce zaplatanki. Prbujc
rozwin rachunki dla kociej ko¸yski,
powinniæmy zacz od takiego w¸aænie
przypadku. ûeby pokaza, jak fascynu-
jce s te moýliwoæci, opisz« figur« zwa-
n indiaÄskimi diamentami. Zaczyna-
my w sposb bardzo podobny do
tworzenia kociej ko¸yski, ale nie ca¸kiem
taki sam [
ilustracja z lewej
]. Startujemy
od prostej p«tli
(1)
, nast«pnie prawym
palcem wskazujcym
(2)
podnosimy
sznurek przebiegajcy przez lew d¸oÄ
i powtarzamy t« operacj« z praw d¸o-
ni
(3)
. Pniej zsuwamy p«tl« z kciu-
kw, ¸czc je ze sob i delikatnie, ale
zdecydowanie odsuwamy od siebie d¸o-
nie. Przekr«camy r«ce tak, by wn«trza
d¸oni skierowane by¸y na zewntrz.
Przesuwamy kciuki do przodu pod
wszystkimi sznurkami, zaczepiamy je
na sznurku ma¸ych palcw, odwraca-
my r«ce z powrotem, przybliýajc sznu-
rek ma¸ych palcw ku sobie
(4)
. Ten
ruch jest bardziej naturalny niý si« wy-
daje, i jeæli go wyprbujesz, to stwier-
dzisz, ýe sznurek wybra¸eæ w sposb
ãoczywistyÓ.
Nast«pnie przeprowadzamy kciuki
ponad sznurkiem b«dcym bezpo-
ærednio przed nimi, a dalej pod ko-
lejnymi sznurkami, tak by je pod-
nieæ grzbietem kciukw
(5)
Ð w ten
sposb powstaje nast«pny kszta¸t
(6)
.
Dalej, zginajc i lekko rozstawiajc
d¸onie, zsuwamy p«tle z ma¸ych pal-
cw. Otrzymujemy coæ mocno popl-
tanego, ale od tego momentu zaplatan-
ka robi si« juý coraz prostsza. Zagi-
namy ma¸e palce do siebie, odwracajc
d¸onie, jeæli mamy ochot«, zaginamy
palce nad pierwszym sznurkiem, kt-
ry napotykamy (z p«tli na palcach
wskazujcych) i poniýej nast«pnego
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
11
INDIAÁSKIE DIAMENTY powstaj
z cigu p«tli, ktry moýe tworzy jedna
osoba. Zatem rachunek dla tej gry
powinien by ¸atwiejszy do opracowania
niý dla kociej ko¸yski. K¸eczka
przedstawiaj palce, wok¸ ktrych
jest zap«tlony sznurek. Wyczerpujco
skomplikowany cig ruchw
(szczeg¸y w tekæcie) prowadzi
do zadziwiajco prostego uk¸adu.
b
12
c
13
Uwaga,
wybitni!
SPRZ¢ûENIE ZWROTNE
1997] szukaliæmy liczb pierwszych.
W listach, ktre otrzyma¸em po publika-
cji tego artyku¸u, znalaz¸em pomys¸, kt-
ry chcia¸bym PaÄstwu przedstawi. Po-
chodzi on z
Visions of the Future
pod
redakcj Clifforda A. Pickovera [
Scien-
ce Reviews
, Northwood, England, 1992],
a dok¸adniej z artyku¸u pracujcych
w Netherlands Cancer Institute w Am-
sterdamie Melsa Sluysera i Erika L. L.
Sonnhammera [ãMolecular Biology and
Futuristic Problem SolvingÓ, ss. 151-157].
Sluyser i Sonnhammer zastosowali
program uýywany do badania DNA
i RNA do cigw liczb pierwszych. Ci-
gi RNA maj cztery zasady Ð A, U, C,
G Ð ktre ¸cz si« w pary, tworzc s¸yn-
n podwjn helis«. Cigi o biologicz-
nym znaczeniu powinny wykazywa
pewn nieprzypadkowoæ, poniewaý
rozmieszczenie przestrzenne par zasad
w RNA moýe powodowa uk¸adanie si«
w pewne bardziej sta¸e konfiguracje. Ma-
j one mniej ãwolnej energiiÓ niý przy-
padkowe nie u¸oýone cigi.
Artyku¸ pokazuje, ýe cigi liczb pierw-
szych mog da waýne wyniki, gdy b«-
dziemy je interpretowa jako cigi RNA.
Skutek uboczny to pojawienie si« pew-
nego nowego rodzaju regularnoæci
w zbiorze liczb pierwszych. Puktem wyj-
æcia jest tzw. parytet liczby pierwszej.
Wemy na przyk¸ad liczb« 23, jej zapis
binarny to 10111. S cztery jedynki;
sprawdmy, czy ta liczba jest parzysta,
czy teý nie. W tym przypadku liczba jest
oczywiæcie parzysta, tak wi«c 23 ma ãpa-
rzystyÓ parytet. Wemy cig liczb pierw-
szych 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... i roz-
bijmy go na pary [2, 3], [5, 7], [11, 13],
[17, 19] itd. Znajdmy odpowiadajcy
im parytet (b«d« uýywa¸ ãPÓ dla parzyste-
go i ãNÓ dla nieparzystego), tworzc no-
wy cig [N, P], [P, N], [N, N], [P, N]...
Oznaczmy [N, N] = A, [P, P] = U, [N, P]
= C oraz [P, N] = G dla ca¸ego cigu
(wybr ten jest dowolny) . Pierwsze dwa-
dzieæcia par daje CGAGUACCACAUCA
CACGCA. Uýyjmy teraz stadardowe-
go programu do obliczenia z¸oýonej
konfiguracji takiego cigu RNA. Otrzy-
mujemy woln energi« Ð 256.9 kcal/mol,
podczas gdy przypadkowe cigi po-
dobnej d¸ugoæci posiadaj ærednio wol-
n energi« Ð 243.6, czyli znacznie wi«k-
sz. Tak wi«c techniki struktury RNA
sugeruj, ýe istniej pewne specjalne,
wyrýnione uk¸ady w cigach liczb
pierwszych.
W ubieg¸ym roku z okazji
åwi«ta Niepodleg¸oæci po raz
pierwszy zosta¸y przyznane
stypendia z Funduszu Pomo-
cy M¸odym Talentom Jolanty
i Aleksandra Kwaæniewskich.
Wyrýniono 11 osb. Stypen-
dia Ð pomoc pieni«ýna, rzeczo-
wa, organizacyjna i meryto-
ryczna Ð s przeznaczone dla
wybitnie uzdolnionych dzieci,
ktre z rýnych przyczyn,
przede wszystkim finanso-
wych, nie mog kontynuowa
nauki lub rozwija swoich ta-
lentw i zainteresowaÄ.
M¸ody cz¸owiek, ubiegajc
si« o stypendium, powinien
wype¸ni kwestionariusz zg¸o-
szenia, a takýe zebra moýli-
wie duýo opinii Ð dyrektora
szko¸y, nauczycieli Ð potwier-
dzajcych jego uzdolnienia
i ciekawe pasje; mog to by
rwnieý dyplomy za udzia¸ w
olimpiadach czy konkursach.
Wnioski stypendialne rozpa-
truje Rada Funduszu.
Kwestionariusze i informa-
cje moýna uzyska w kura-
toriach oæwiaty. W sprawie
stypendium moýna teý zg¸a-
sza si« do Fundacji J. Kwa-
æniewskiej ãPorozumienie
bez barierÓ pod adresem:
00-071 Warszawa, ul. Kra-
kowskie Przedmieæcie 48/50
lub do Biura Spraw Spo¸ecz-
nych Kancelarii Prezydenta
Rzeczypospolitej Polskiej Ð tu-
taj teý naleýy przes¸a do-
kumenty. Adres Kancelarii
Prezydenta: 00-902 Warsza-
wa, ul. Wiejska 10.
Nie ma okreælonego terminu
sk¸adania wnioskw o stypen-
dia. Zaleýnie od ærodkw fi-
nansowych, pomoc moýe by
przyznawana cz«æciej niý raz
w roku. (M)
sznurka (z p«tli na kciukach). Nast«pnie
wyprostowujemy ma¸e palce
(8)
.
Na tym etapie mamy dwie p«tle na
kaýdym kciuku i uwalniamy je tak jak
poprzednio. Po tej operacji sznurek wy-
glda duýo proæciej
(9)
, tylko w«ze¸
w ærodku jest popltany, ale to bez zna-
czenia. Poprowadmy kciuk nad dwo-
ma sznurkami tworzcymi p«tl« na pal-
cu wskazujcym, a nast«pnie pod naj-
bliýszym sznurkiem p«tli ma¸ego palca
i z powrotem do miejsca, gdzie zacz«li-
æmy. By moýe w tym momencie trze-
ba b«dzie troch« przekr«ci r«ce
(10)
.
Nast«pny krok jest niezwyk¸y. Pal-
cami prawej r«ki uchwymy sznu-
rek w punkcie
a
i przenieæmy go na le-
wy kciuk o u¸amek centymetra dalej.
Powtrzmy t« sam operacj« z drug
r«k. Uwaýajmy, by umieæci sznu-
rek powyýej tego, ktry krzyýuje si«
z nim i idzie od ma¸ego palca. Jeæli zro-
bimy to poprawnie, otrzymamy nowy
wzr
(11)
Ð i znw szczeg¸y zap«tlone-
go ærodka s nieistotne.
Prawie koniec. Ostatni krok ¸atwiej
wykona niý opisa. Obrmy kciuki
tak, by by¸y zwrcone ku sobie, prze-
prowadmy je przez dziury oznaczone
literk
b
, a nast«pnie wyprowadmy je
w gr« po stronie bliýszej. Naleýy wte-
dy w¸oýy palce wskazujce do dziur
oznaczonych literk
c
na rysunku
(12)
i wyprostowa. Teraz musimy ostroý-
nie zsun sznurek z ma¸ych palcw
i odwrci d¸onie, kierujc ich wn«trza
na zewntrz i jednoczeænie nacigajc
sznurek. Po pewnej liczbie prb powin-
niæmy otrzyma indiaÄskie diamenty
w ca¸ej okaza¸oæci
(13)
.
Te dwa przyk¸ady daj zaledwie
przedsmak figur sznurkowych. Jeæli
chcecie dowiedzie si« wi«cej, to zaj-
rzyjcie do ksiýki Caroline F. Jayne
String Figures and How to Make Them
(Dover Publications, 1975). Dobrze jest
zda sobie spraw« z faktu, ýe mimo
wszystkich zadziwiajcych moýliwo-
æci dzisiejsza topologia nie radzi sobie
z t star dzieci«c zabaw. Jednakýe
mam przeczucie, ýe topolodzy podejm
wyzwanie. Takýe czytelnicy mog wy-
myæli rachunek kociej ko¸yski lub teý
dobrze si« bawi, wiczc swoje ãma-
tematyczne mi«ænieÓ w tworzeniu ele-
ganckich figur z prostej p«tli sznurka.
T¸umaczyli
Zdzis¸aw Pogoda i Robert Wolak
* To znaczy, ýe nie da si« tak wygina, rozciga
lub æcisn jednego w«z¸a (bez rozrywania i skleja-
nia), by otrzyma drugi (przyp. t¸um.).
86 å
WIAT
N
AUKI
Luty 1998
P
¸ roku temu [
åwiat Nauki
, lipiec
[ Pobierz całość w formacie PDF ]