[ Pobierz całość w formacie PDF ]
REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
Szklana butelka Kleina
Wst«ga Mbiusa ma brzeg. To ta kra-
w«d taæmy, ktra nie jest sklejona. Sfe-
ra nie ma brzegu. A czy moýe istnie
powierzchnia jednostronna bez brzegu?
Okazuje si«, ýe tak, lecz nie da si« jej
umieæci w przestrzeni trjwymiarowej
bez samoprzeci«.
Dla topologw to nie problem wy-
obrazi sobie powierzchni« w przestrze-
ni wielowymiarowej lub nawet bez ýad-
nej otaczajcej j przestrzeni. Dla
dmuchaczy szk¸a to jednak ograniczenie
nie do omini«cia. Ilustracja poniýej
przedstawia butelk« Kleina wydmucha-
n przez Bennetta. Inaczej niý w zwy-
k¸ej butelce jej wlot (czyli szyjka) zosta¸
wygi«ty w ucho, przecigni«ty na wylot
przez powierzchni« i po¸czony z ni
od ærodka. Szklana butelka Kleina przecina
si« sama ze sob wzd¸uý krzywej przy-
pominajcej okrg; topolodzy ignoruj
jednak to przeci«cie, rozwaýajc idealn
butelk« Kleina bez samoprzeci«.
Sprbujmy sobie wyobrazi, jak wy-
glda¸oby malowanie butelki Kleina. Za-
czynamy z ãzewntrzÓ od duýej bania-
stej cz«æci, a nast«pnie posuwamy si«
w d¸ wzd¸uý zw«ýajcej si« i zawini«-
tej szyjki. Gdy miniemy samoprzeci«-
cie, udajc, ýe nic si« nie sta¸o, kontynu-
ujemy malowanie szyjki, ktra teraz
jest wewntrz baÄki. W miar« jak szyjka
rozszerza si«, ¸czc z baÄk, staje si« ja-
sne, ýe malujemy wn«trze baÄki. Wida
wi«c, ýe wewn«trzna i zewn«trzna
strona butelki Kleina ¸cz si« ze sob
bez szww Ð powierzchnia jest jed-
nostronna.
Bennett s¸ysza¸, ýe gdy rozetnie
si« butelk« Kleina wzd¸uý odpo-
wiedniej krzywej, to rozpadnie si«
ona na dwie wst«gi Mbiusa. Fak-
tycznie, gdy sprbujemy to zrobi
z butelk Kleina umieszczon w zwy-
k¸ej przestrzeni, nawet ze szklan, zoba-
czymy, ýe obie powsta¸e wst«gi maj jed-
no skr«cenie. Bennett zastanawia¸ si«,
jakiego typu kszta¸t trzeba by rozci, ýe-
by otrzyma trzykrotnie skr«cone wst«-
gi Mbiusa. Wykona¸ wiele rýnych
szklanych obiektw, a nast«pnie rozcina¸
je i sprawdza¸, co powsta¸o. ãZauwaýy-
¸em, ýe gdy si« zrealizuje lub zbierze
wystarczajco wiele wariantw podsta-
wowego pomys¸u, to najbardziej logicz-
ne albo oczywiste rozwizanie proble-
mu samo si« pojawiÓ Ð napisa¸.
w Anglii i z zawodu jest dmu-
chaczem szk¸a. Kilka lat temu,
zainteresowawszy si« wyst«pujcymi
w topologii tajemniczymi kszta¸tami
w rodzaju wst«gi Mbiusa czy butelki
Kleina, natkn¸ si« na interesujc ¸ami-
g¸wk«. Matematyk prbowa¸by roz-
wiza j za pomoc rachunkw, ale
Bennettowi wystarczy¸o szk¸o. Jego ko-
lekcj« interesujcych obiektw, a tak na-
prawd« badawczy projekt Ð zastyg¸y
w szkle, wkrtce b«dzie moýna oglda
na sta¸ej wystawie w Science Museum
w Londynie.
Topolodzy zajmuj si« badaniem w¸a-
snoæci, ktre pozostaj niezmienne na-
wet wtedy, gdy obiekt jest rozcigany,
skr«cany lub zniekszta¸cany w inny spo-
sb. Z jednym wszakýe zastrzeýeniem:
deformacja musi by cig¸a, tzn. obiekt
nie moýe by trwale rozerwany czy teý
poci«ty. (Dopuszcza si« rozci«cia chwi-
lowe, pod warunkiem jednak, ýe osta-
tecznie wszystko b«dzie jak przedtem,
czyli punkty leýce blisko siebie przed
rozci«ciem, po zakoÄczeniu operacji i
sklejeniu znw znajd si« w ssiedztwie.)
W¸asnoæci topologiczne dotycz teý spj-
noæci: Czy dany obiekt wyst«puje w jed-
nym kawa¸ku, czy w kilku? Czy jest za-
w«lony? A moýe ma dziury?
Wi«kszoæ znanych powszechnie
kszta¸tw topologicznych na pierwszy
rzut oka przypomina osobliwe zabaw-
ki, jednak konsekwencje ich analizy s
znacznie g¸«bsze. Istnieje coæ takiego
jak wst«ga Mbiusa, ktr moýemy
wykona, skr«cajc doæ d¸ugi ka-
wa¸ek taæmy, a nast«pnie sklejajc
jego koÄce. (W tym artykule ãskr«-
cenieÓ oznacza ãobrcenie o 180¡Ó,
cho niekiedy t« operacj« nazywa
si« p¸obrotem.) Wst«ga ta jest naj-
prostsz powierzchni, ktra ma
tylko jedn stron«. Gdyby dwaj
malarze usi¸owali pomalowa ta-
k gigantyczn wst«g« Mbiusa z
jednej strony na czerwono, a z dru-
giej na niebiesko, to wczeæniej czy
pniej weszliby sobie w parad«.
Jeæli przed sklejeniem taæm« skr«-
cimy wi«cej razy, to otrzymamy rýne
odmiany wst«gi Mbiusa. Dla topolo-
gw waýne jest rozrýnienie pomi«dzy
parzyst a nieparzyst liczb skr«ceÄ.
W pierwszym przypadku powstaje po-
wierzchnia dwustronna, w drugim Ð
jednostronna. Wszystkie nieparzyste
liczby skr«ceÄ prowadz do powierzch-
ni, ktre ãwewn«trznieÓ s topologicz-
nie takie same jak wst«ga Mbiusa. ûe-
by dowiedzie si«, dlaczego tak jest,
musimy rozci wst«g«, odkr«ci wszy-
stkie skr«cenia, oprcz jednego, i po-
nownie sklei wzd¸uý rozci«cia. Ponie-
waý zlikwidowana zosta¸a parzysta
liczba skr«ceÄ, to po po¸czeniu brze-
gw rozci«cia dostajemy zwyk¸ wst«-
g« Mbiusa.
Z tych samych powodw wszystkie
wst«gi powsta¸e przez parzyste skr«ce-
nie koÄcw s topologicznie identyczne
ze zwyk¸ym walcem, ktry nie ma skr«-
ceÄ. Dok¸adna liczba skr«ceÄ teý ma
jednak znaczenie topologiczne, pokazu-
je bowiem, jak wst«ga jest umieszczona
w otaczajcej przestrzeni. Pojawiaj si«
tu dwa rýne pytania Ð jedno dotyczy
wewn«trznej geometrii wst«gi, drugie
zwizane jest z jej usytuowaniem w prze-
strzeni. Pierwsze zaleýy jedynie od pa-
rzystoæci (lub nieparzystoæci) liczby skr«-
ceÄ; drugie Ð od konkretnej liczby.
BUTELKA KLEINA Ð jednostronna powierzchnia
wydmuchana w szkle przez Alana Bennetta.
86 å
WIAT
N
AUKI
Maj 1998
A
lan Bennett mieszka w Bedford
TRZYSZYJKOWA
butelka Kleina
TRZY BUTELKI Kleina
jedna w drugiej.
SPIRALNA BUTELKA Kleina
rozci«ta na dwie wst«gi
z siedmioma skr«ceniami.
INNA WERSJA spiralnej
butelki Kleina
Poniewaý Bennett poszukiwa¸ trzy-
krotnie skr«conych wst«g Mbiusa, ba-
da¸ wszystkie typy wariacji z liczb trzy
Ð takie jak butelki z trzema szyjkami,
a takýe Ð co zdumiewajce Ð konfigura-
cje trzech butelek umieszczonych jedna
w drugiej. Najpierw usi¸owa¸ wyobra-
zi sobie, co by si« sta¸o, gdyby rozci¸
te obiekty; nast«pnie robi¸ to za pomo-
c diamentu i sprawdza¸ efekty.
Jego poszukiwania zakoÄczy¸y si«
znalezieniem zadziwiajcej butli, kt-
rej szyjka zap«tla si« podwjnie, dajc
trzykrotne przeci«cie [
ilustracja z prawej
].
Bennett nazwa¸ powsta¸y obiekt ãnaczy-
niem uroborosaÓ Ð od legendarnego la-
tajcego smoka, ktry chcc zjeæ swj
ogon, krýy¸ po coraz to mniejszych
okr«gach. Gdy naczynie uroborosa ro-
zetniemy pionowo wzd¸uý p¸aszczyzny
wyznaczajcej symetri« lewoÐprawo
(p¸aszczyzn« rysunku), to rozpadnie si«
ono na dwie trzykrotnie skr«cone wst«-
gi Mbiusa. I problem rozwizany.
Jak przysta¸o na matematyka, Ben-
nett nie zaprzesta¸ stawiania pytaÄ. Co
z pi«ciokrotnie skr«con wst«g? A skr«-
con dziewi«tnastokrotnie? Jaka jest
oglna zasada? Dok¸adajc jeszcze jed-
n p«tl«, szybko uzyska¸ rozwizanie
dla pi«ciokrotnie skr«conej wst«gi. Kaý-
da dodatkowa p«tla powoduje dwa do-
datkowe skr«cenia.
Nast«pnie Bennett uproæci¸ kszta¸t
spiralnych butelek Kleina, dzi«ki cze-
mu sta¸y si« zgrabniejsze. Jedna z takich
NACZYNIE UROBOROSA, ktrego szyjka zawini«ta jest
w dwukrotn p«tl«, rozdziela si« na dwie trzykrotnie skr«cone
wst«gi Mbiusa, gdy powierzchni« rozcinamy pionowo.
(Przecinane linie zosta¸y dodane, by u¸atwi wizualizacj« problemu.)
butelek, przedstawiona powyýej na trze-
ciej fotografii z lewej, po rozci«ciu roz-
pada si« na dwie wst«gi o siedmiu skr«-
ceniach, a kaýdy skr«t spirali prowadzi
do dwch dodatkowych skr«ceÄ wst«-
gi. Fotografia ostatnia pokazuje inny
wariant Ð topologiczn deformacj« ty-
powej spiralnej butelki Kleina.
Wiedzc juý, jakie znaczenie maj skr«-
cenia spiralne, Bennett uæwiadomi¸ sobie,
ýe moýe powrci do pierwotnej butel-
ki Kleina, ãodkr«cajcÓ spiral«. Linia,
wzd¸uý ktrej spiralna butelka Kleina
powinna by rozci«ta, rwnieý si« defor-
muje. Podczas gdy spiralna szyjka butel-
ki si« odkr«ca, linia rozci«cia zostaje skr«-
cona. Tak wi«c jeæli rozetniemy typow
butelk« Kleina wzd¸uý krzywej spiral-
nej, to moýemy uzyska tyle skr«ceÄ, ile
dusza zapragnie Ð w opisywanym przy-
padku dziewi«.
A na koniec ciekawostka. Pierwotn
motywacj opisanej pracy by¸a moýli-
ORYGINALNA butelka Kleina
rozci«ta wzd¸uý krzywej spiralnej.
woæ rozci«cia butelki Kleina na dwie
raz skr«cone wst«gi Mbiusa. Butelk«
Kleina da si« jednak rwnieý rozci
wzd¸uý innej krzywej i wwczas otrzy-
mamy tylko jedn wst«g« Mbiusa.
Problem ten zostawiam czytelnikom,
a rozwizanie Bennetta przedstawi« nie-
bawem w ãSprz«ýeniu zwrotnymÓ.
T¸umaczy¸a
Anna Orzechowska
SPRZ¢ûENIE ZWROTNE
kwadratwÓ [
åwiat Nauki
, wrzesieÄ 1997]. C. J. Bouwkamp z Eindhoven, spe-
cjalista w kwadratowaniu kwadratw, przys¸a¸ mi liczne uwagi. Najpierw pomyli¸em
inicja¸y. Powinno by A. J. W. Duijvestijn i C. J. Bouwkamp. Nast«pnie Ð to w 1969 ro-
ku P. J. Federico opublikowa¸ proste perfekcyjnie pokwadratowane prostokty z jed-
nym bokiem dublujcym drugi, a fakt ten znany by¸ nawet jeszcze wczeæniej. I co
zaskakujce, szeæcian o boku 3 031 451 daje si« pokry 70 rýnymi kwadratami.
Jak to wyglda, moýna obejrze na stronie internetowej Scientific American
(http://www.sciam.com).
DWIE WST¢GI MBIUSA jako rezultat
klasycznego rozci«cia butelki Kleina.
å
WIAT
N
AUKI
Maj 1998
87
W
ielu czytelnikw nades¸a¸o informacje dotyczce artyku¸u ãKwadratowanie
[ Pobierz całość w formacie PDF ]